Estatística- I Variáveis

Variável é a característica de interesse que é medida em cada elemento da amostra ou população. Como o nome diz, seus valores variam de elemento para elemento. As variáveis podem ter valores numéricos ou não numéricos.
Variáveis podem ser classificadas da seguinte forma:

1. Variáveis Quantitativas: são as características que podem ser medidas em uma escala quantitativa, ou seja, apresentam valores numéricos que fazem sentido. Podem ser contínuas ou discretas.
   1. Variáveis discretas: características mensuráveis que podem assumir apenas um número finito ou infinito contável de valores e, assim, somente fazem sentido valores inteiros. Geralmente são o resultado de contagens. Exemplos: número de filhos, número de bactérias por litro de leite, número de cigarros fumados por dia.
   2. Variáveis contínuas, características mensuráveis que assumem valores em uma escala contínua (na reta real), para as quais valores fracionais fazem sentido. Usualmente devem ser medidas através de algum instrumento. Exemplos: peso (balança), altura (régua), tempo (relógio), pressão arterial, idade.
2. Variáveis Qualitativas (ou categóricas): são as características que não possuem valores quantitativos, mas, ao contrário, são definidas por várias categorias, ou seja, representam uma classificação dos indivíduos. Podem ser nominais ou ordinais.
   1. Variáveis nominais: não existe ordenação dentre as categorias. Exemplos: sexo, cor dos olhos, fumante/não fumante, doente/sadio.
   2. Variáveis ordinais: existe uma ordenação entre as categorias. Exemplos: escolaridade (1o, 2o, 3o graus), estágio da doença (inicial, intermediário, terminal), mês de observação (janeiro, fevereiro,..., dezembro).

Probabilidade

Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então a probabilidade de ocorrer um evento A é:

Por, exemplo, no lançamento de um dado, um número par pode ocorrer de 3 maneiras diferentes dentre 6 igualmente prováveis, portanto, P = 3/6= 1/2 = 50%

Dizemos que um espaço amostral S (finito) é equiprovável quando seus eventos elementares têm probabilidades iguais de ocorrência.

Num espaço amostral equiprovável S (finito), a probabilidade de ocorrência de um evento A é sempre:

Probabilidade condicional

Quando discorremos sobre alguns conceitos de probabilidade e também sobre a união de dois eventos,  os exemplos dados sempre calculavam a probabilidade de um evento ocorrer diretamente em função do espaço amostral.

A probabilidade condicional trata da probabilidade de ocorrer um evento A, tendo ocorrido um evento B, ambos do espaço amostral S, ou seja, ela é calculada sobre o evento B e não em função o espaço amostral S.

A probabilidade de ocorrência de um evento A em relação a um evento ocorrido B é expressa como:

Para calculá-la podemos nos utilizar da fórmula:

Sabemos que , a probabilidade da intersecção, é a razão do seu número de elementos, para o número de elementos do espaço amostral:

A probabilidade de B também é a razão do seu número de elementos, para o número de elementos do espaço amostral:

Os substituindo na fórmula original temos:

Probabilidades- Múltiplicação de probabilidades

Quando temos uma situação envolvendo dois espaços amostrais com dois eventos independentes, realizamos a multiplicação entre as probabilidades. Confira o exemplo:
Uma urna possui 50 bolas, sendo 20 bolas vermelhas e 30 bolas amarelas. Ao sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez com reposição de bola na urna sorteada, qual será a probabilidade da 1º bola ser vermelha e a 2ª ser amarela?
Veja como se resolve a seguir:


Probabilidade da bola vermelha – 20 em 50
Probabilidade da bola amarela – 30 em 50
Em virtude de os eventos serem independentes, devemos realizar a multiplicação:

 Multiplicação de Probabilidades

            

 A Probabilidade de ocorrer p(A Ç B) é igual ao produto da probabilidade de um deles pela probabilidade do outro em relação ao primeiro pronto. 

p(A Ç B) = p(A/B).p(B)

Esta fórmula é denominada Lei das Probabilidades Compostas. Esta importante fórmula, permite calcular a probabilidade da ocorrência simultânea dos eventos A e B, sabendo-se que já ocorreu o evento B.

Se a ocorrência do evento B, não mudar a probabilidade da ocorrência do evento A, então p(A/B) = p(A) e, neste caso, os eventos são ditos independentes, e a fórmula acima fica:

Se A e B forem eventos independentes, então: p(A Ç B) = p(A) . p(B)

Probabilidades- Evento

Evento

Quando lançamos um dado ou uma moeda, chamamos a ocorrência deste fato de evento. Qualquer subconjunto de um espaço amostral é um evento.

Em relação ao espaço amostral do lançamento de um dado, veja o conjunto a seguir:

A = { 2, 3, 5 }

Note que  ( A está contido em S, A é um subconjunto de S ). O conjunto A é a representação do evento do lançamento de um dado, quando temos a face para cima igual a um número primo.

Classificação de Eventos

Podemos classificar os eventos por vários tipos. Vejamos alguns deles:

Evento Simples

Classificamos assim os eventos que são formados por um único elemento do espaço amostral.

A = { 5 } é a representação de um evento simples do lançamento de um dado cuja face para cima é divisível por 5. Nenhuma das outras possibilidades são divisíveis por 5.

Evento Certo

Ao lançarmos um dado é certo que a face que ficará para cima, terá um número divisor de 720. Este é um evento certo, pois 720 = 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1, obviamente qualquer um dos números da face de um dado é um divisor de720, pois 720 é o produto de todos eles.

O conjunto A = { 2, 3, 5, 6, 4, 1 } representa um evento certo pois ele possui todos os elementos do espaço amostralS = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }.

Evento Impossível

No lançamento conjunto de dois dados qual é a possibilidade de a soma dos números contidos nas duas faces para cima, ser igual a 15?

Este é um evento impossível, pois o valor máximo que podemos obter é igual a doze. Podemos representá-lo por , ou ainda por A = {}.

Evento União

Seja A = { 1, 3 } o evento de ocorrência da face superior no lançamento de um dado, ímpar e menor ou igual a 3 e B = { 3, 5 }, o evento de ocorrência da face superior, ímpar e maior ou igual a 3, então C = { 1, 3, 5 } representa o evento de ocorrência da face superior ímpar, que é a união dos conjuntos A e B, ou seja, .

Probalidades - Experimento Aleatório e Determinístico e Espaço Amostral

Boa Noite galera! Espero que gostem, mais um assunto novo!

O estudo da probabilidade vem da necessidade de em certas situações, prevermos a possibilidade de ocorrência de determinados fatos.

Ao começarmos o estudo da probabilidade, normalmente a primeira ideia que nos vem à mente é a da sua utilização em jogos, mas podemos utilizá-lo em muitas outras áreas. Um bom exemplo é na área comercial, onde um site de comércio eletrônico pode dela se utilizar, para prever a possibilidade de fraude por parte de um possível comprador.

Para iniciarmos o estudo da probabilidade, vamos a seguir definir alguns conceitos importantes sobre a matéria.

Experimento Aleatório.      

Se lançarmos uma moeda ao chão para observarmos a face que ficou para cima, o resultado é imprevisível, pois tanto pode dar cara, quanto pode dar coroa.

Se ao invés de uma moeda, o objeto a ser lançado for um dado, o resultado será mais imprevisível ainda, pois aumentamos o número de possibilidades de resultado.

A experimentos como estes, ocorrendo nas mesmas condições ou em condições semelhantes, que podem apresentar resultados diferentes a cada ocorrência, damos o nome de experimentos aleatórios.

Experimento Determinístico 

A velocidade com que uma moeda atinge o solo e o intervalo de tempo são sempre iguais a 20 m/s e 2 segundos, respectivamente. Essa situação é um experimento que, se repetido nas mesmas condições, terá sempre os mesmos resultados. Tal experimento é denominado experimento deterministico.

Espaço Amostral

Ao lançarmos uma moeda não sabemos qual será a face que ficará para cima, no entanto podemos afirmar com toda certeza que ou será cara, ou será coroa, pois uma moeda só possui estas duas faces. Neste exemplo, ao conjunto { cara, coroa } damos o nome de espaço amostral, pois ele é o conjunto de todos os resultados possíveis de ocorrer neste experimento.

Representamos um espaço amostral, ou espaço amostral universal como também é chamado, pela letra S. No caso da moeda representamos o seu espaço amostral por:

S = { cara, coroa }

Se novamente ao invés de uma moeda, o objeto a ser lançado for um dado, o espaço amostral será:

S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} 

Geometria Espacial II - Cone

O conceito de cone

Considere uma região plana limitada por uma curva suave (sem quinas), fechada e um ponto P fora desse plano. Chamamos de cone ao sólido formado pela reunião de todos os segmentos de reta que têm uma extremidade em P e a outra num ponto qualquer da região.


Elementos do cone

• Base: A base do cone é a região plana contida no interior da curva, inclusive a própria curva.
• Vértice: O vértice do cone é o ponto P.
• Eixo: Quando a base do cone é uma região que possui centro, o eixo é o segmento de reta que passa pelo vértice P e pelo centro da base.
• Geratriz: Qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice do cone e a outra na curva que envolve a base.
• Altura: Distância do vértice do cone ao plano da base.
• Superfície lateral: A superfície lateral do cone é a reunião de todos os segmentos de reta que tem uma extremidade em P e a outra na curva que envolve a base.
• Superfície do cone: A superfície do cone é a reunião da superfície lateral com a base do cone que é o círculo.
• Seção meridiana: A seção meridiana de um cone é uma região triangular obtida pela interseção do cone com um plano que contem o eixo do mesmo.

Classificação do cone

Quando observamos a posição relativa do eixo em relação à base, os cones podem ser classificados como retos ou oblíquos. Um cone é dito reto quando o eixo é perpendicular ao plano da base e é oblíquo quando não é um cone reto. Ao lado apresentamos um cone oblíquo.

Observação: Para efeito de aplicações, os cones mais importantes são os cones retos. Em função das bases, os cones recebem nomes especiais. Por exemplo, um cone é dito circular se a base é um círculo e é dito elíptico se a base é uma região elíptica.
 

Observações sobre um cone circular reto

1.  Um cone circular reto é chamado cone de revolução por ser obtido pela rotação (revolução) de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos

2.  A seção meridiana do cone circular reto é a interseção do cone com um plano que contem o eixo do cone. No caso acima, a seção meridiana é a região triangular limitada pelo triângulo isósceles VAB.

3.  Em um cone circular reto, todas as geratrizes são congruentes entre si. Se g é a medida de cada geratriz então, pelo Teorema de Pitágoras, temos:

g² = h² + R²

4.  A Área Lateral de um cone circular reto pode ser obtida em função de g (medida da geratriz) e R (raio da base do cone):

A_Lat = Pi R g

5.  A Área total de um cone circular reto pode ser obtida em função de g (medida da geratriz) e R (raio da base do cone):

A_Total = Pi R g + Pi R²

Cones Equiláteros

Um cone circular reto é um cone equilátero se a sua seção meridiana é uma região triangular equilátera e neste caso a medida da geratriz é igual à medida do diâmetro da base.
A área da base do cone é dada por:

A_Base=Pi R²

Pelo Teorema de Pitágoras temos:

(2R)² = h² + R²
h² = 4R² - R² = 3R²

Assim:

h = R 

Como o volume do cone é obtido por 1/3 do produto da área da base pela altura, então:

V = (1/3) Pi R³

Como a área lateral pode ser obtida por:

A_Lat = Pi R g = Pi R 2R = 2 Pi R²

então a área total será dada por:

A_Total = 3 Pi R²

Exercícios resolvidos

1.  A geratriz de um cone circular reto mede 20 cm e forma um ângulo de 60 graus com o plano da base. Determinar a área lateral, área total e o volume do cone.

sen(60^o) = h/20
(1/2)  = h/20
h = 10 R[3] cm
V = (1/3) A_base h
V = (1/3) Pi r² h
(1/3) Pi 10² 10 = (1/3) 1000 Pi cm³

r = 10 cm; g = 20 cm
A_lat = Pi r g = Pi 10 20 = 200 Pi cm²
A_total = A_lat + A_base
A_total = Pi r g + Pi r² = Pi r (r+g)
A_total = Pi 10 (10+20) = 300 Pi cm²

2.  A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 2cm e um dos ângulos mede 60 graus. Girando-se o triângulo em torno do cateto menor, obtem-se um cone. Qual é o seu volume?

sen(60^o) = R/2
(1/2)  = R/2
R = cm

g² = h² + R²
2² = h² + 3
4 = h² + 3
h = 1 cm

V = (1/3) A_base h = (1/3) Pi R² h = (1/3) Pi 3 = Pi cm³

3.  Os catetos de um triângulo retângulo medem b e c e a sua area mede 2 m². O cone obtido pela rotação do triângulo em torno do cateto b tem volume 16 Pi m³. Determine o comprimento do cateto c.

Como a área do triangulo mede 2 m², segue que

(1/2) b c = 2

implicando que

b.c=4

V =(1/3) A_base h
16 Pi = (1/3) Pi R² b
16 Pi = (1/3) Pi c c b
16 = c(4/3)
c = 12 m

4.  As áreas das bases de um cone circular reto e de um prisma quadrangular reto são iguais. O prisma tem altura 12 cm e volume igual ao dobro do volume do cone. Determinar a altura do cone.

h_prisma = 12
A_{base do prisma} = A_{base do cone} = A
V_prisma = 2 V_cone
A h_prisma = 2(A h)/3
12 = 2.h/3
h=18 cm

5. 

Anderson colocou uma casquinha de sorvete dentro de uma lata cilíndrica de mesma base, mesmo raio R e mesma altura h da casquinha. Qual é o volume do espaço (vazio) compreendido entre a lata e a casquinha de sorvete?

V = V_cilindro - V_cone
V = A_base h - (1/3) A_base h
V = Pi R² h - (1/3) Pi R² h
V = (2/3) Pi R² h cm³