Boa noite, galera! Hoje vamos falar de Geometria Euclidiana. Esperamos que gostem!
Na matemática, Geometria Euclidiana é a geometria, em duas e
três dimensões, baseada nos postulados de Euclides Alexandria.
Os pontos A, B, D e F são
colineares, pois existe uma reta que passa por eles.
2)Dado um plano a, existem infinitos pontos pertencentes
a ele e há infinitos pontos não pertencentes a ele.
3)Dados dois pontos
distintos A e B, existe uma, e somente uma, reta r que passa por esses dois pontos.
Ou seja: dois pontos distintos sempre serão coplanares.
4)Se dois pontos distintos A
e B pertencem a um plano a, então a reta r que passa pelos pontos A e B está contida em a.
5)Dados três pontos distintos A,
B e C, não pertencentes à mesma reta (não colineares), existe um único
plano a que passa por esses três pontos.
6)Dado um ponto P, por ele passam infinitas retas.
7)(Postulado de Euclides)Dados
uma reta r
e um ponto P não pertencente à reta r,
existe uma, e somente uma, reta s paralela a r passando por P:
8)Um ponto P pertencente a
uma r
divide-a em duas semirretas opostas cuja origem é P:
9)Uma reta r contida em um plano a divide-o
em dois semiplanos opostos cuja origem é r:
Posições
relativas:
Posições relativas de um ponto e uma reta: Um
ponto pode pertencer ou não a uma reta.
Posições relativas de um ponto e um plano: Um
ponto pode ou não pertencer a um plano.
Posições
relativas entre duas retas: Duas retas distintas irão assumir as
seguintes posições relativas no espaço.
Retas paralelas: Duas retas
são paralelas se pertencem ao mesmo plano (coplanares) e não possuírem ponto de
intersecção ou ponto em comum.
Retas concorrentes: Duas
retas concorrentes possuem apenas um ponto em comum.
Retas perpendiculares: São retas que
possuem ponto em comum formando um ângulo de 90 graus.
Retas reversas: Duas retas são reversas
quando não são coplanares.
Posições relativas entre dois planos:
Planos concorrentes ou secantes: Dois
planos distintos, a e b, que têm uma reta em
comum, são denominados planos concorrentes ou secantes.
Planos paralelos: Dois
planos distintos, a e b, que não têm ponto em comum, ou seja, a
intersecção dos planos é um conjunto vazio, são chamados de planos paralelos.
Posições
relativas entre uma reta e um plano:
Reta paralela ao plano:
Uma reta s é paralela
a um plano a se s e a não
têm ponto em comum.
Reta contida no plano:
Uma reta r está contida em um plano a quando
todos os pontos da reta pertencem ao plano.
Reta concorrente a um
plano: Uma reta r é concorrente a um plano a quando r não está contido em a e apresenta apenas um ponto P em comum com o plano.
Exercícios:
1)Para cada afirmação a seguir, indique V para as que são
verdadeiras e F para as falsas:
( ) Há infinitos pontos
numa reta.
( ) Três pontos
distintos determinam um plano.
( ) Existem infinitos
pontos não pertencentes a um plano.
( ) Dados dois pontos
distintos, existe um único plano que passa por eles.
( ) Por um ponto A,
passa uma única reta.
( ) Por dois pontos
distintos, B e C, passa uma única reta.
( ) Há infinitos pontos
em um plano.
( ) Um plano contém
infinitas retas.
2) (FEI – SP) Na determinação de um plano, são suficientes os
elementos a seguir:
a) Duas retas distintas.
b) Uma reta e um ponto.
c) Duas retas reversas.
d) Duas retas concorrentes.
e) N.d.a.
3) (UFPE) Considere as sentenças que seguem:
l. Se dois planos têm um ponto em comum, então terão também
outro ponto comum, distinto do primeiro.
ll. Três pontos distintos determinam um único plano.
lll. A distância entre dois pontos de uma reta é um número real
que depende da unidade de medida escolhida.
Assinale a alternativa correta:
a) Apenas a ll é a falsa.
b) l e ll são falsas.
c) ll e lll são verdadeiras.
d) l, ll e lll são falsas.
e) Apenas a l é verdadeira.
4) (PUCSP) Qual das afirmações seguintes é verdadeira?
a) Se duas retas distintas não são paralelas, então elas são
concorrentes.
b) Duas retas não coplanares são reversas.
c) Se a intersecção de duas retas é o conjunto vazio, então
elas são paralelas.
d) Se três retas são paralelas, então existe um plano que as
contém.
e) Se três retas distintas são concorrentes duas a duas,
então elas determinam um plano.
5) (MACKENZIE – SP) r e r’ são retas reversas. O número de
planos paralelos a r que passam por r’ é:
a) dois
b) um
c) infinitos
d) nenhum
e) N.d.a.
6) (UAAM) Na determinação de um plano, são suficientes os
seguintes elementos:
a) Duas retas reversas.
b) Duas retas distintas.
c) Duas retas concorrentes.
d) Uma reta e um ponto.
e) Dois pontos.
7) (UFRGS – RS) Assinale a afirmação verdadeira:
a) Quatro pontos quaisquer são sempre coplanares.
b) Existe um único plano que passa por três pontos distintos
entre si.
c) Se dois planos têm uma reta comum, então eles são
secantes.
d) Dois planos distintos são secantes se, e somente se,
tiverem uma única reta em comum.
e) Uma reta e um plano podem ter dois e apenas dois pontos
distintos em comum.
8) (MACKENZIE – SP) Sejam r, s e t retas no espaço. Se r é
perpendicular a t e s perpendicular a t, então:
a) r e s são paralelas.
b) r e s são perpendiculares.
c) r e s são reversas.
d) r, s e t são coplanares.
e) Nenhuma das afirmações acima é verdadeira.
Respostas:
1) V, F, V, F, F, V, V, V.
2) Alternativa D.
3) Alternativa E.
4) Alternativa B.
5) Alternativa B.
6) Alternativa C.
7) Alternativa C.
8) Alternativa E.
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