Geometria Euclidiana

Boa noite, galera! Hoje vamos falar de Geometria Euclidiana. Esperamos que gostem!

Geometria Euclidiana

Na matemática, Geometria Euclidiana é a geometria, em duas e três dimensões, baseada nos postulados de Euclides Alexandria.

Ponto, Reta, Plano:

Definições:

a)Ponto – é um elemento da Geometria que não há como dimensionar.

 

  A

.

b)Reta – são linhas unidimensionais, tendo apenas comprimento, e são ilimitadas, ou seja, as figuras representam apenas uma parte dela.

                                                              

                                                    

 c)Plano – o plano apresenta duas dimensões – largura e comprimento –, sendo ilimitado em suas  dimensões.

Postulados:

1)Dada uma reta r, existem infinitos pontos pertencentes a ela e há infinitos pontos não pertencentes a ela:

Os pontos A, B, D e F são colineares, pois existe uma reta que passa por eles.

2)Dado um plano a, existem infinitos pontos pertencentes a ele e há infinitos pontos não pertencentes a ele.

3)Dados dois pontos distintos A e B, existe uma, e somente uma, reta r que passa por esses dois pontos.

Ou seja: dois pontos distintos sempre serão coplanares.

 4)Se dois pontos distintos A e B pertencem a um plano a, então a reta r que passa pelos pontos A e B está contida em a.

5)Dados três pontos distintos A, B e C, não pertencentes à mesma reta (não colineares), existe um único plano a que passa por esses três pontos.

6)Dado um ponto P, por ele passam infinitas retas.

7)(Postulado de Euclides)Dados uma reta r e um ponto P não pertencente à reta r, existe uma, e somente uma, reta s paralela a r passando por P:

8)Um ponto P pertencente a uma r divide-a em duas semirretas opostas cuja origem é P:

9)Uma reta r contida em um plano a divide-o em dois semiplanos opostos cuja origem é r:

Posições relativas:

Posições relativas de um ponto e uma reta: Um ponto pode pertencer ou não a uma reta.

Posições relativas de um ponto e um plano: Um ponto pode ou não pertencer a um plano.

Posições relativas entre duas retas: Duas retas distintas irão assumir as seguintes posições relativas no espaço.

Retas paralelas: Duas retas são paralelas se pertencem ao mesmo plano (coplanares) e não possuírem ponto de intersecção ou ponto em comum.

Retas concorrentes: Duas retas concorrentes possuem apenas um ponto em comum.

Retas perpendiculares: São retas que possuem ponto em comum formando um ângulo de 90 graus.

Retas reversas: Duas retas são reversas quando não são coplanares.

Posições relativas entre dois planos:

Planos concorrentes ou secantes: Dois planos distintos, a e b, que têm uma reta em comum, são denominados planos concorrentes ou secantes.

                                                                           

Planos paralelos: Dois planos distintos, a e b, que não têm ponto em comum, ou seja, a intersecção dos planos é um conjunto vazio, são chamados de planos paralelos.

Posições relativas entre uma reta e um plano:

Reta paralela ao plano: Uma reta s é paralela a um plano a se s e a não têm ponto em comum.

Reta contida no plano: Uma reta r está contida em um plano a quando todos os pontos da reta pertencem ao plano. 

Reta concorrente a um plano: Uma reta r é concorrente a um plano a quando r não está contido em a e apresenta apenas um ponto P em comum com o plano.

Exercícios:

1)Para cada afirmação a seguir, indique V para as que são verdadeiras e F para as falsas:

(   ) Há infinitos pontos numa reta.

(   ) Três pontos distintos determinam um plano.

(   ) Existem infinitos pontos não pertencentes a um plano.

(   ) Dados dois pontos distintos, existe um único plano que passa por eles.

(   ) Por um ponto A, passa uma única reta.

(   ) Por dois pontos distintos, B e C, passa uma única reta.

(   ) Há infinitos pontos em um plano.

(   ) Um plano contém infinitas retas.

2) (FEI – SP) Na determinação de um plano, são suficientes os elementos a seguir:

a) Duas retas distintas.

b) Uma reta e um ponto.

c) Duas retas reversas.

d) Duas retas concorrentes.

e) N.d.a.

3) (UFPE) Considere as sentenças que seguem:

l. Se dois planos têm um ponto em comum, então terão também outro ponto comum, distinto do primeiro.

ll. Três pontos distintos determinam um único plano.

lll. A distância entre dois pontos de uma reta é um número real que depende da unidade de medida escolhida.

Assinale a alternativa correta:

a) Apenas a ll é a falsa.

b) l e ll são falsas.

c) ll e lll são verdadeiras.

d) l, ll e lll são falsas.

e) Apenas a l é verdadeira.

4) (PUCSP) Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

a) Se duas retas distintas não são paralelas, então elas são concorrentes.

b) Duas retas não coplanares são reversas.

c) Se a intersecção de duas retas é o conjunto vazio, então elas são paralelas.

d) Se três retas são paralelas, então existe um plano que as contém.

e) Se três retas distintas são concorrentes duas a duas, então elas determinam um plano.

5) (MACKENZIE – SP) r e r’ são retas reversas. O número de planos paralelos a r que passam por r’ é:

a) dois

b) um

c) infinitos

d) nenhum

e) N.d.a.

6) (UAAM) Na determinação de um plano, são suficientes os seguintes elementos:

a) Duas retas reversas.

b) Duas retas distintas.

c) Duas retas concorrentes.

d) Uma reta e um ponto.

e) Dois pontos.

7) (UFRGS – RS) Assinale a afirmação verdadeira:

a) Quatro pontos quaisquer são sempre coplanares.

b) Existe um único plano que passa por três pontos distintos entre si.

c) Se dois planos têm uma reta comum, então eles são secantes.

d) Dois planos distintos são secantes se, e somente se, tiverem uma única reta em comum.

e) Uma reta e um plano podem ter dois e apenas dois pontos distintos em comum.

8) (MACKENZIE – SP) Sejam r, s e t retas no espaço. Se r é perpendicular a t e s perpendicular a t, então:

a) r e s são paralelas.

b) r e s são perpendiculares.

c) r e s são reversas.

d) r, s e t são coplanares.

e) Nenhuma das afirmações acima é verdadeira.

Respostas:

1) V, F, V, F, F, V, V, V.

2) Alternativa D.

3) Alternativa E.

4) Alternativa B.

5) Alternativa B.

6) Alternativa C.

7) Alternativa C.

8) Alternativa E.