Sistema Lineares

Equação linear é toda igualdade escrita na forma a1x1+a2x2+a3x3+…+anxn=b em que: 

a1,a2,a3,an sao denominados coeficientes

x1,x2,x3,xn sao denominados incógnitas

"b" é denominado de termo independente 

Exemplos:

4m+3n=2                                

Coeficientes: 4-3                     

Incógnitas: m-n                       

Termo independente: 2           

-p-2q+5r=0

Coeficientes: -1-(-2)-5

Incógnitas:p-q-r

Termo independente: 0

- Sistema de equações lineares 

Um conjunto de p equações lineares com variáveis x1, x2, x3,….,xn formam um sistema linear com "p" equações e "n" incógnitas.

exemplos: 

x+y=3

x-y=1

2x-3y+z=0

x+y-3z=-3

-x-y+2z=1

x-3y+2z-w=8

x+7y-z+10w=-3

- Resolução de um sistema linear

Resolver um sistema linear é determinar valores (se existirem) que verificam todas as equações que formam o sistema. exemplos

2x + 2y + 2z = 20
2x – 2y + 2z = 8
2x – 2y – 2z = 0

no caso desse sistema os pares ordenados (5,3,2)  são a solução desse sistema pois satisfaz as três equações:

2*5+2*3+2*2=20     10+6+4=20

2*5-2*3+2*2=8         10-6+4=8

2*5-2*3-2*2=0          10-6-4=0

x+y=3

x-y=1

no caso desse sistema o par ordenado (2,1) é a solução desse sistema pois satisfaz as duas equações:

2+1=3

2-1=1

- Método do escalonamento

O método do escalonamento consiste em, por meio de operações de adição(subtração) e multiplicação(divisão), diminuir a quantidade de incógnitas nas equações.

x-2y+z=-1

-3x+5y-z=-2

4x-6y+3z=0

Para iniciar o método do escalonamento, transforme em zero os coeficientes dos termos em "x" nas 2º e 3º equações.

x-2y+z=-1 .(3)   

-3x+5y-z=-2      

4x-6y+3z=0

-------------------   

 3x-6y+3z=-3

 -3x+5y-z=-2

-------------------

  0-y+2z=-5

Da mesma maneira, multiplica-se a 1º equação pela 4º e somando à 3º equação.

-4x+8y-4z=4

4x-6y+3z=0

                  

0+2y-z=4

dessa forma, o sistema ficara:

x-2y+z=-1

0-y+2z=-5

0+2y-z=4

Agora faremos com que o coeficiente da incógnita "y" seja zero:

0-y+2z=-5 .(2)  

-2y+4z=-10

+2y-z=4

                   

0+3z=-6

 Dessa forma o sistema ficara:

x-2y+z=-1

  -y+2z=-5

      3z=-6

Com esse novo sistema é possível identificar quanto vale a incógnita "z":

3z=-6 .º. z=-2

Substituindo na segunda equação teremos: 

-y+2.(-2)=-5  -y-4=-5 .º. y=1

substituindo "z" e "y" na primeira equação teremos:

x-2.(1)+(-2)=-1   x-2-2=-1 .º. x=3 

ou seja temos que a solução do sistema é:

x=3 y=1 e z=-2

- Classificação de um sistema linear

A solução do sistema pode ser classificada em:

Possível    determinada( possui uma única solução) e indeterminada (possui infinitas soluções)

Impossível    não possui solução.

exemplos:

x+y+z=4

-x+y+z=2

-x-y+z=2 

A solução é x=1, y=0 e z=3 o sistema é possível determinada pois possui uma única solução( um único ponto)

x+y+2z=1

2x+3y+z=-2

-x-2y+z=3

esse é um sistema em que ha infinitas soluções, pois quando 

z=0, tem-se x=5 e y=-4

z=1, tem-se x=o e y=-1

z=4, tem-se x=-15 e y=8

x+2y+z=1     x+2y+z=1

2x+y-3z=4    -3y-5z=2

3x+3y-2z=0    0+0=-5

 esse sistema não possui solução pois é impossível que 0+0 seja igual a -5.

Para maior esclarecimento assista o vídeo abaixo:

                      

     Exercícios

Num bar, paga-se R$ 5,80 por 5 pastéis e 3 copos de refrigerante. No mesmo local, 3 pastéis e 2 copos de refrigerante custam R$ 3,60. Nesse caso, cada copo de refrigerante custa:

a) R$ 0,70

b) R$ 0,50

c) R$ 0.30 a menos do que o preço de cada pastel

d) R$ 0,20 a mais do que o preço de cada pastel

e) R$ 0,20 a menos do que o preço de cada pastel

2- Um artesão está vendendo pulseiras (a “x” reais a unidade) e colares (a “y” reais a unidade). Sabendo que 3 pulseiras e 2 colares custam R$ 17,50 e 2 pulseiras e 3 colares custam R$ 20,00, quanto custa cada pulseira é:

a) R$ 3,20
b) R$ 3,00
c) R$ 2,70
d) R$ 2,50
e) R$ 2,00

3- Um certo numero de alunos fazia prova em uma sala. Em um dado momento, retiram-se da sala 15 moças, ficando o numero de rapazes igual ao dobro do numero de moças. Em seguida, retiraram-se 31 rapazes, ficando na sala igual ao numero de moças e rapazes. o total de alunos que fazia prova nessa sala era:

a) 96

b) 98

c) 108

d) 116

e) 128

4- José, João e Pedro foram juntos à padaria. José tomou duas médias e comeu três pães com manteiga, pagando R$ 1,74
João tomou três médias e comeu dois pães com manteiga, pagando R$ 1,96
Pedro tomou uma média e comeu dois pães com manteiga
Quanto pagou Pedro?
A) R$ 1,00

B) R$ 1,04

C) R$ 1,08

D) R$ 1,12

E) R$ 1,16

5- Num concurso, a prova de matemática apresentava 20 questões. Para cada questão respondida corretamente , o candidato ganhava 3 pontos e, para cada questão respondida erradamente ou não respondida, perdia 1 ponto. Sabendo -se que para ser aprovado deveria totalizar, nessa prova, um mínimo de 28 pontos, o menor número de questões respondidas corretamente para que o candidato fosse aprovado era de:

a)12   b)13   c)14   d)15   e)16

Resoluções:

1-  Podemos representar os pasteis por "x" e os refrigerantes por "y":

5x+3y = 5,80 *2

3x+2y = 3,60 *3

——————

10x+6y = 11,60

9x+6y = 10,80

————-——-

   x = 0,80

 3.0,80+2y = 3,60

2y = 3,60 – 2,40

y = 1,2/2

y = 0,60

 Alternativa: E

2- 

3x+2y = 1,74 *3

2x+3y = 20,00 *2

——————

9x+6y = 52,00 

4x+6y = 40,00 (-)

——————-

5x = 12,50

x = 2,50

Alternativa: D

3-

M-15

R = 2.(M-15)

R-31

R-31 = M-15

2(M-15)- 31 = M-15

2M- 30 - 31 = M-15

M = 61-15

M = 46 

R = 2(46-15)

R = 62

46+62 = 108

Alternativa: C

4- 

2x+3y = 1,74 *3

3x+2y = 1,96 *2

——————

6x+9y = 5,22

6x+4y= 3,92 (-)

—————-

5y = 1,30

y = 0,26

3x+2.a,26 = 1,06

3x = 1,96-o,52

x = 1,44/3

x = 0,48

—> x+2y =?

= 0,48+2.0,26

= 1,00

Alternativa: A

5- 

C+E = 20

3C-E = 28

—————-

4C = 48

C = 12

Alternativa: A