Fatorial de um número

O fatorial de um número n (n pertence ao conjunto dos números naturais) é sempre o produto de todos os seus antecessores, incluindo si próprio e excluindo o zero. A representação é feita pelo número fatorial seguido do sinal de exclamação, n! . Exemplo de número fatorial:

6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720

Importante: n >= 0 (n maior ou igual a zero) , ou seja, não existe fatorial para números negativos.

* O fatorial de 0 ( 0! ) é 1, pois o produto de número nenhum é 1.

O numero fatorial pode ser modificado para outras formas:

n! = n . (n-1) . (n-2) . (n-3)!

exemplo:

6! = 6 . (6-1) . (6-2) . (6-3)!

6! = 6 . 5 . 4 . 3!

6! = 120 . 3!

6! = 120 . 3 . (3-1) . (3-2)!

6! = 120 . 3 . 2 . 1!

6! = 120 . 6 = 720

Divisão de fatoriais
A divisão de fatoriais acontece bastante em análise combinatória. Observe:

Cuidado
As seguintes operações NÃO são válidas:

Escrevendo um fatorial a partir de um outro fatorial menor

Vimos que 5! é equivalente a 5 . 4 . 3 . 2 . 1, mas note que também podemos escrevê-lo de outras formas, em função de fatoriais menores, tais como 4!, 3! e 2!:

1. 5! = 5 . 4!
2. 5! = 5 . 4 . 3!
3. 5! = 5 . 4 . 3 . 2!

Para um fatorial genérico temos:

n! = n . (n - 1)!  =  n . (n - 1) . (n - 2)!  =  n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3) . ... . 1!

Observe atentamente os exemplos seguintes:

1. (n + 3)! = (n + 3) . (n + 2)!
2. (n + 3)! = (n + 3) . (n + 2) . (n + 1)!
3. (n + 1)! = (n + 1) . n!

Vamos atribuir a n o valor numérico 6, para termos uma visão mais clara destas sentenças:

1. 9! = 9 . 8!
2. 9! = 9 . 8 . 7!
3. 7! = 7 . 6!

Estes conceitos são utilizados em muitos dos problemas envolvendo fatoriais.

Simplificação envolvendo fatoriais

Observe a fração abaixo:

Vimos que 5! é equivalente a 5! = 5 . 4 . 3!. Então podemos escrever a fração da seguinte forma:

Agora podemos simplificar o 3! do numerador com o 3! do denominador. Temos então:

Veja outros exemplos:

Gerando uma sequência de números compostos consecutivos a partir de um fatorial

Na página onde falamos sobre múltiplos de um número natural foi explicado que se a um número que é múltiplo de n, somarmos n ou qualquer um dos seus múltiplos, iremos obter como resultado um número que também é múltiplo de n.

3! + 2 = 3 . 2 . 1 + 2 = 6 + 2 = 8

3! + 3 = 3 . 2 . 1 + 3 = 6 + 3 = 9

Repare que 8, resultado da soma de 6 com 2, é divisível por 2, assim como 6. O mesmo ocorrendo com 9, resultado da soma de 6 com 3, que também é divisível por 3.

Como 8 e 9 são múltiplos de algum fator de 3!, temos que eles formam uma sequência de dois números compostos (não primos) consecutivos a partir do fatorial de três.

3! possui três fatores, mas só podemos considerar os fatores maiores que 1, por isto só pudemos somar dois e três. Note neste exemplo, que se somássemos 3! + 1, iríamos obter 7, que não é um número composto. Sete é um número primo.

Exemplos de problemas envolvendo fatoriais

Qual deve ser o valor numérico de n para que a equação (n + 2)! = 20 . n! seja verdadeira?

O primeiro passo na resolução deste problema consiste em escrevermos (n + 2)! em função de n!, em busca de uma equação que não mais contenha fatoriais:

Conforme explicado na página onde tratamos sobre o cálculo rápido das raízes de equações do segundo grau, podemos resolver rapidamente esta equação respondendo à seguinte pergunta: Quais são os dois números cuja soma é igual a -3 e cujo produto é igual -18?

Rapidamente concluímos que as raízes procuradas são -6 e 3, mas como não existe fatorial de números negativos, já que eles não pertencem ao conjunto dos números naturais, ficamos apenas com a raiz igual a 3.

Portanto:

O valor numérico de n para que a equação seja verdadeira é igual a 3.

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A partir de fatoriais, obtenha uma sequência com sete números compostos consecutivos.

Como eu devo obter 7 números compostos consecutivos na sequência, eu preciso partir ao menos de 8!:

8! = 8 . 7 . 6. 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 40320

Como 8! é igual a 40320, o primeiro número da sequência será 40320 + 2 = 40322 e o último será 40320 + 8 = 40328.

Logo:

A sequência 40322, 40323, 40324, 40325, 40326, 40327 e 40328 satisfaz as condições do enunciado.