Determinante

Determinante de uma matriz quadrada

Se "A" é uma matriz quadrada "A" de ordem 2, dada por:

A=	a11	a12
	a21	a22

definimos o determinante de "A", denotado por det(A), como:

                                             det(A) = a₁₁ a₂₂ - a₂₁ a₁₂

Se "A" é uma matriz quadrada "A" de ordem 3, dada por:

A=	a11	a12	a13
	a21	a22	a23
	a31	a32	a33

definimos o determinante de "A", com:

 det(A) = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₂₁a₃₂a₁₃ + a₃₁a₁₂a₂₃ - a₁₁a₃₂a₂₃ - a₂₁a₁₂a₃₃ - a₃₁a₂₂a₁₃

Regra prática de Sarrus

Dada a matriz "A" de ordem 3:

A=	a11	a12	a13
	a21	a22	a23
	a31	a32	a33

Repetimos as duas primeiras colunas após a terceira coluna, de forma a montar uma matriz com 3 linhas mas com 5 colunas.

a11	a12	a13	a11	a12
a21	a22	a23	a21	a22
a31	a32	a33	a31	a32

Marcamos 3 diagonais que descem, de acordo com algumas cores. Os produtos obtidos nas diagonais que descem devem ter o sinal positivo.

a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32

Produto cor amarela +a11a22a33 Produto cor verde +a12a23a31 Produto cor azul +a13a21a32

Marcamos agora 3 diagonais que sobem, de acordo com outras cores. Os produtos obtidos nas diagonais que sobem devem ter o sinal negativo.

a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32

Produto cor rosa -a11a22a33 Produto cor bege -a12a23a31 Produto cor khaki -a13a21a32

O determinante da matriz "A" é a soma dos seis produtos, conservados os sinais:

         det(A) = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₂₁a₃₂a₁₃ + a₃₁a₁₂a₂₃ - a₁₁a₃₂a₂₃ - a₂₁a₁₂a₃₃ - a₃₁a₂₂a₁₃

Observamos que esta regra não funciona para matrizes de ordem diferente que 3.

Propriedades dos determinantes:

Em todas as situações abaixo, consideraremos matrizes quadradas de ordem n>2.

1. Se I_n é a matriz identidade, então:
   det(I_n) = 1
2. Se "N" é uma matriz nula, então:
   det(N) = 0
3. Se uma linha (ou coluna) da matriz "A" for nula, então:
   det(A) = 0
4. A matriz "A" bem como a sua transposta A^t, possuem o mesmo determinante de "A", isto é:
   det(A^t) = det(A)
5. Se "B" é a matriz obtida pela multiplicação de uma linha (ou coluna) da matriz "A" por um escalar "k", então:
   det(B) = k det(A)
6. Se B=kA, onde "k" é um escalar, então:
   det(B) = kⁿ det(A)
7. Se "B" é a matriz obtida pela troca de duas linhas (ou colunas) de "A", então:
   det(B) = - det(A)
8. Se "A" tem duas linhas (ou colunas) iguais, então:
   det(A) = 0
9. Se a diferença entre os elementos de duas linhas (ou colunas) de uma matriz "A" é uma mesma constante, então:
   det(A) = 0
10. Se uma linha (ou coluna) de "A" for múltipla de uma outra linha (ou coluna) de "A", então:
    det(A) = 0
11. Ao fixar todas as linhas (ou colunas) de uma matriz exceto uma delas, o determinante de "A" será uma função linear da linha (ou coluna) não fixada da matriz.
12. Ao multiplicar (ou dividir) uma linha (ou coluna) de uma matriz por um número real "k", o determinante da matriz será multiplicado (ou dividido) por "k".