Bloco do Dudu : Triângulo de Pascal

O triângulo de Pascal é um triângulo numérico infinito formado por números binomiais $\begin{matrix} {n\choose k} \end{matrix}$ , onde $n$ representa o número da linha (posição vertical) e $k$ representa o número da coluna (posição horizontal), iniciando a contagem a partir do zero.O triângulo também pode ser representado:

	0	1	2	3	4	5	6
0	1	1	1	1	1	1	1
1	1	2	3	4	5	6
2	1	3	6	10	15
3	1	4	10	20
4	1	5	15
5	1	6
6	1

Ele define os números no triângulo por recusão: Chame o número na (m+1)-ésima linha e na (n+1)-ésima coluna por tmn. Então tmn = tm-1,n + tm,n-1, para m = 0, 1, 2... e n = 0, 1, 2... As condições de contorno são tm, −1 = 0, t−1, n para m = 1, 2, 3... e n = 1, 2, 3... O gerador t00 = 1. Pascal conclui com a prova,

$t_{mn} = \frac{(m+n)(m+n-1)...(m+1)}{n(n-1)...1}.\$

Relação de Stifel

Cada número do triângulo de Pascal é igual à soma do número imediatamente acima e do antecessor do número de cima. ${n-1\choose k-1}+{n-1\choose k}={n\choose k}$

$\begin{matrix} &\mathbf{0}&\mathbf{1}&\mathbf{2}&\mathbf{3}&\mathbf{4}&\mathbf{5}\\ \mathbf{0}&1&&&&&\\ \mathbf{1}&1&1&&&&\\ \mathbf{2}&1&2&1&&&\\ \mathbf{3}&1&3&3&1&&\\ \mathbf{4}&1&4&\underline{\overline{6}}&\underline{\overline{4}}&1&\\ \mathbf{5}&1&5&10&\underline{\overline{10}}&5&1\\ \end{matrix}$

Portanto:

$\begin{matrix}{4\choose 2}&+&{4\choose 3}&=&{5\choose 3}\\ &&&&\\ 6&+&4&=&10\end{matrix}$

Soma de uma Linha

A soma de uma linha no triângulo de Pascal é igual a $2^n$ .

$\begin{matrix} &\mathbf{0}&\mathbf{1}&\mathbf{2}&\mathbf{3}&\mathbf{4}&\mathbf{5}&\mathbf{6}&\mathbf{2^{n}}\\ \mathbf{0}&1&&&&&&&{2^{0}=1}\\\mathbf{1}&1&1&&&&&&{2^{1}=2}\\ \mathbf{2}&1&2&1&&&&&{2^{2}=4}\\\mathbf{3}&1&3&3&1&&&&{2^{3}=8}\\ \mathbf{4}&1&4&6&4&1&&&{2^{4}=16}\\ \mathbf{5}&1&5&10&10&5&1&&{2^{5}=32}\\ \mathbf{6}&1&6&15&20&15&6&1&{2^{6}=64} \end{matrix}$

Soma de uma Coluna

A soma da coluna, no triângulo de Pascal, pode ser calculada pela relação ${n\choose n}+{n+1\choose n}+...+{n+k\choose n}={n+k+1\choose n+1}$ .

$\begin{matrix} &\mathbf{0}&\mathbf{1}&\mathbf{2}&\mathbf{3}&\mathbf{4}&\mathbf{5}&\mathbf{6}\\ \mathbf{0}&1&&&&&&\\\mathbf{1}&1&\underline{\overline{1}}&&&&&\\ \mathbf{2}&1&\underline{\overline{2}}&1&&&&\\ \mathbf{3}&1&\underline{\overline{3}}&3&1&&&\\ \mathbf{4}&1&\underline{\overline{4}}&6&4&1&&\\ \mathbf{5}&1&5&\underline{\overline{10}}&10&5&1&\\ \mathbf{6}&1&6&15&20&15&6&1 \end{matrix}$

Portanto: $\begin{matrix} {1\choose 1}&+&{2\choose 1}&+&{3\choose 1}&+&{4\choose 1}&=&{5\choose 2}\\ &&&&&&&&\\ 1&+&2&+&3&+&4&=&10\end{matrix}$

Simetria

O triângulo de Pascal apresenta simetria em relação à altura, se for escrito da seguinte forma:

$\begin{matrix} {\begin{matrix}&&\\&&\\&&\\&&\\&&\\&&1\\&1&\\1&&7\end{matrix}} & {\begin{matrix}&&&&1&&&&\\&&&1&&1&&&\\&&1&&2&&1&&\\&1&&3&&3&&1&\\1&&4&&6&&4&&1\\&5&&10&&10&&5&\\6&&15&&20&&15&&6\\&21&&35&&35&&21&\end{matrix}} & {\begin{matrix}&&\\&&\\&&\\&&\\&&\\1&&\\&1&\\7&&1\end{matrix}} \end{matrix}$

Isso deve-se ao fato de que ${n\choose k}= \frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n!}{(n-k)!k!} = {n\choose n-k}$

Soma de uma Diagonal

Conhecendo as fórmulas ${n\choose n}+{n+1\choose n}+...+{n+k\choose n}={n+k+1\choose n+1}$ (Soma de uma coluna) e ${n\choose k}= \frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n!}{(n-k)!k!} = {n\choose n-k}$ (Simetria) do triângulo de Pascal, pode-se encontrar a seguinte fórmula para soma de diagonais: ${n\choose 0}+{n+1\choose 1}+...+{n+k\choose k}={n+k+1\choose k}$ .

$\begin{matrix} &\mathbf{0}&\mathbf{1}&\mathbf{2}&\mathbf{3}&\mathbf{4}&\mathbf{5}&\mathbf{6}\\ \mathbf{0}&1&&&&&&\\ \mathbf{1}&\underline{\overline{1}}&1&&&&&\\ \mathbf{2}&1&\underline{\overline{2}}&1&&&&\\ \mathbf{3}&1&3&\underline{\overline{3}}&1&&&\\ \mathbf{4}&1&4&6&\underline{\overline{4}}&1&&\\ \mathbf{5}&1&5&10&10&\underline{\overline{5}}&1&\\ \mathbf{6}&1&6&15&20&\underline{\overline{15}}&6&1 \end{matrix}$

segunda-feira, 4 de novembro de 2013

Triângulo de Pascal

Relação de Stifel

Soma de uma Linha

Soma de uma Coluna

Simetria

Soma de uma Diagonal

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