O conceito de pirâmide:
Consideremos um
polígono contido em um plano (por exemplo, o plano horizontal) e um ponto V
localizado fora desse plano. Uma Pirâmide é a reunião de todos os segmentos que
têm uma extremidade em P e a outra num ponto qualquer do polígono. O ponto V
recebe o nome de vértice da pirâmide.
Exemplo: As pirâmides do Egito eram utilizadas para sepultar
faraós, bem como as pirâmides no México e nos Andes, que serviam a finalidades
de adoração aos seus deuses. As formas piramidais eram usadas por tribos
indígenas e mais recentemente por escoteiros para construir barracas.
Elementos de uma pirâmide:
Em uma pirâmide, podemos identificar vários elementos:
1. Base: A
base da pirâmide é a região plana poligonal sobre a qual se apoia a pirâmide.
3. Eixo: Quando
a base possui um ponto central, isto é, quando a região poligonal é simétrica
ou regular, o eixo da pirâmide é a reta que passa pelo vértice e pelo centro da
base.
4. Altura: Distância
do vértice da pirâmide ao plano da base.
5. Faces
laterais: São regiões planas triangulares que passam pelo vértice da
pirâmide e por dois vértices consecutivos da base.
6. Arestas
Laterais: São segmentos que têm um extremo no vértice da pirâmide e outro
extremo num vértice do polígono situado no plano da base.
7. Apótema: É
a altura de cada face lateral.
8. Superfície
Lateral: É a superfície poliédrica formada por todas as faces laterais.
Aresta da base: É qualquer um dos lados do polígono da base.
Classificação das pirâmides pelo número de lados da base:
triangular
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quadrangular
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pentagonal
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hexagonal
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base:triângulo
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base:quadrado
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base:pentágono
|
base:hexágono
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Pirâmide Regular reta:
Pirâmide regular reta é aquela que tem uma base poligonal regular e a
projeção ortogonal do vértice V sobre o plano da base coincide com o centro da
base.
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R
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Raio do circulo circunscrito
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r
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Raio do círculo inscrito
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l
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Aresta da base
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ap
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Apótema de uma face lateral
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h
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Altura da pirâmide
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al
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Aresta lateral
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As faces laterais são triângulos isósceles congruentes
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||
Área Lateral de uma pirâmide:
Às vezes podemos construir fórmulas para obter as áreas das superfícies
que envolvem um determinado sólido. Tal processo é conhecido como a
planificação desse sólido. Isto pode ser realizado se tomarmos o sólido de
forma que a sua superfície externa seja feita de papelão ou algum outro
material.
No caso da pirâmide, a ideia é tomar uma tesoura e cortar (o papelão d)
a pirâmide exatamente sobre as arestas, depois reunimos as regiões obtidas num
plano que pode ser o plano de uma mesa.
Se considerarmos uma pirâmide regular cuja base tem n lados e
indicarmos por A (face) a área de uma face lateral da pirâmide, então
a soma das áreas das faces laterais recebe o nome de área lateral da pirâmide e
pode ser obtida por:
A (lateral) = n A (face)
Exemplo: Seja a pirâmide quadrangular regular que está planificada
na figura acima, cuja aresta da base mede 6 cm e cujo apótema mede 4cm.
Como A (lateral)=n.A(face) e como a pirâmide é quadrangular temos n=4
triângulos isósceles, a área da face lateral é igual à área de um dos
triângulos, assim:
A (face) = b h/2 = 6.4/2 = 12
A (lateral) = 4.12 = 48 cm² |
 |
Exemplo: A aresta da base de uma pirâmide hexagonal regular mede 8
cm e a altura 10 cm. Calcular a área lateral.
Tomaremos a aresta com a=8 cm e a altura com h=10 cm. Primeiro vamos
calcular a medida do apótema da face lateral da pirâmide hexagonal.
Calcularemos o raio r da base.
Como a base é um hexágono regular temos que r= (a/2)R[3], assim
r=8R[3]/2=4R[3] e pela relação de Pitágoras, segue que (ap)²=r²+h², logo:
(ap)²= (4R[3])²+10² = 48+100 = 148 = 4·37 = 2R[37]
A área da face e a área lateral são dadas por:
A (face) = 8.2[37]/2 = 8.R[37]
A (lateral) = n.A(face) = 6.8.R[37] = 48.R[37]
Área total de uma Pirâmide:
A área total de uma pirâmide é a soma da área da base com a área
lateral, isto é:
A (total) = A (lateral) + A (base)
Exemplo: As faces laterais de uma pirâmide quadrangular regular
formam ângulos de 60 graus com a base e têm as arestas da base medindo 18 cm.
Qual é a área total?
Já vimos que A (lateral) =n.A(face) e como cos(60º)=(lado/2)/a, então
1/2=9/a donde segue que a=18, assim:
A (face) = b.h/2 = (18.18) /2 = 162
A (lateral) = 4.162 = 648
A (base) = 18² = 324
Concluímos que:
A (total) = A (lateral) + A (base) = 648+324 = 970
Exemplo: Um grupo de
escoteiros quer obter a área total de suas barracas, as quais têm forma
piramidal quadrangular. Para isso, eles usam medidas escoteiras. Cada dois
passos de um escoteiro mede 1 metro. A barraca tem 4 passos escoteiros de lado
da base e 2 passos de apótema. Calcular a área da base, área lateral e a área
total.
A (base) = 2.2 = 4 m²
A (lateral) = 4.2.1 = 8 m³
Logo, a área total da barraca é
A (total) = A(lateral) + A(base) = 8+4 = 12 m²
Volume de uma Pirâmide:
O volume de uma pirâmide pode ser obtido como um terço do produto da
área da base pela altura da pirâmide, isto é:
Volume = (1/3) A (base) h
Exemplo: Juliana tem um
perfume contido em um frasco com a forma de uma pirâmide regular com base
quadrada. A curiosa Juliana quer saber o volume de perfume que o frasco contém.
Para isso ela usou uma régua e tirou duas informações: a medida da aresta da
base de 4 cm e a medida da aresta lateral de 6cm.
Como V(pirâmide)=A(base).h/3, devemos calcular a área da base e a medida
da altura. Como a base tem forma quadrada de lado a=4 cm, temos que
A(base)=a²=4cm.4cm=16 cm².
A altura h da pirâmide pode ser
obtida como a medida de um cateto de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é
dada pela altura L=6cm da aresta lateral e o outro cateto Q=2×R[2] que é a
metade da medida da diagonal do quadrado. Dessa forma h²=L²-Q², se onde segue
que h²=36-8=28 e assim temos que h=2R[7] e o volume será dado por V= (1/3).16.2R[7]=(32/3)R[7].
Seção Transversal de uma pirâmide:
Seção transversal de uma pirâmide é a interseção da pirâmide com um
plano paralelo à base da mesma. A seção transversal tem a mesma forma que a
base, isto é, as suas arestas correspondentes são proporcionais. A razão entre
uma aresta da seção transversal e uma aresta correspondente da base é dita
razão de semelhança.
Observações sobre seções transversais:
1. Em uma pirâmide
qualquer, a seção transversal e a base são regiões poligonais semelhantes. A
razão entre a área da seção transversal e a área da base é igual ao quadrado da
razão de semelhança.
2. Ao seccionar uma
pirâmide por um plano paralelo à base, obtemos outra pirâmide menor (acima do
plano) semelhante em todos os aspectos à pirâmide original.
3. Se duas
pirâmides têm a mesma altura e as áreas das bases são iguais, então as seções
transversais localizadas à mesma distância do vértice têm áreas iguais.
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V(seção)
|
Volume da seção até o vértice
(volume da pirâmide menor) |
V(piram)
|
Volume da pirâmide (maior)
|
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A(seção)
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Área da seção transversal
(base da pirâmide menor) |
|
A(base)
|
Área da base da pirâmide (maior)
|
|
h
|
Distância do vértice à seção
(altura da pirâmide menor) |
|
H
|
Altura da pirâmide (maior)
|
Assim:
V(seção)
V(base)
|
=
|
A(seção)
A(piram)
|
·
|
h
H
|
A(seção)
A(base)
|
=
|
h²
H²
|
Então:
|
Exemplo: Uma pirâmide tem a altura medindo 9cm e volume igual a
108cm³. Qual é o volume do tronco desta pirâmide, obtido pelo corte desta
pirâmide por um plano paralelo à base da mesma, sabendo-se que a altura do
tronco da pirâmide é 3cm?
Como
V(pirMenor)/V(pirâmide) = h³/H³
V(pirMenor)/108 = 6³/9³
Então:
V(tronco)=V(pirâmide)-V(pirMenor)= 108cm³-2cm³ = 76 cm³
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