Esfera

   Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao centro é menor ou igual ao raio R.

     Considerando a rotação completa de um semicírculo em torno de um eixo e, a esfera é o sólido gerado por essa rotação. Assim, ela é limitada por uma superfície esférica e formada por todos os pontos pertencentes a essa superfície e ao seu interior.

Volume

   O volume da esfera de raio R  é dado por:

Superfície esférica

   A superfície esférica de centro O e raio R é o conjunto de pontos do es[aço cuja distância ao ponto O é igual ao raio R.

   Se considerarmos a rotação completa de uma semicircunferência em torno de seu diâmetro, a superfície esférica é o resultado dessa rotação.

        A área da superfície esférica é dada por:

Zona esférica

   É a parte da esfera gerada do seguinte modo:

  

    A área da zona esférica é dada por:

Calota esférica

   É a parte da esfera gerada do seguinte modo:

    Ä área da calota esférica é dada por:

Fuso esférico

   O fuso esférico é uma parte da superfície esférica que se obtém ao girar uma semi-circunferência de um ângulo em torno de seu eixo:

   A área do fuso esférico pode ser obtida por uma regra de três simples:

Cunha esférica

   Parte da esfera que se obtém ao girar um semicírculo em torno de seu eixo de um ângulo :

    O volume da cunha pode ser obtido por uma regra de três simples:

Estatísticas- exercícios

1)Suponha que parafusos a serem utilizados em tomadas elétricas são embaladas em caixas rotuladas como contendo 100 unidades. Em uma construção, 10 caixas de um lote tiveram o número de parafusos contados, fornecendo os valores 98, 102, 100, 100, 99, 97, 96, 95, 99 e 100.
Calcule as medidas resumo de posição (média, mediana e moda) para o número de parafusos por caixa.

Resposta:
média = 98,6; mediana = Md = 99 e moda = Mo = 100 

2)Numa classe com 12 alunos de um curso de inglês, os alunos indicaram o número de outras línguas (além de português e inglês) com que tinham alguma familiaridade. O resultado foi o seguinte: 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2 e 4.

Obtenha as medidas resumo de posição e dispersão (variância e desvio padrão).

R: x = número de línguas com que o aluno declara-se familiar média(x) = 1,08; Md(x) = 1 e Mo(x) = 1
variância do conjunto de dados = var(x) = 1,2431; dp(x) = 1,1149 

3) As notas finais de uma prova do curso de TADI foram: 7,5,4,5,6,3,8,4,5,4,6,4,5,6,4,6,6,3,8,4,5,4,5,5, e 6

Separe os dados em dois grupos, os aprovados (>=5) e os reprovados.
a) Organize os dados, calcule a média, a mediana e a moda dos dois grupos; b) Compare o desvio padrão do conjunto de dados dos dois grupos.


R: a) média = 5,12; d.p. = 1,706; b) média = 3,78 e 5,88; dp = 0,4157 e 0,9922
O desvio padrão do conjunto de dados foi maior para o grupo aprovado pois a dispersão das notas é maior neste grupo. 

4) Para o exemplo 3, obtenha as medidas resumo de dispersão para x, y=50x e d=50x+1300. Qual a relação entre suas variâncias?

R: variância do conjunto de dados = var(x) = 0,767; dp(x) = 0,876 var(y) = 1917,5; dp(y) = 43,8
var(d) = 1917,5; dp(d) = 43,8


É importante notar neste exercício que a variância de y e de d ficam multiplicados por 50^2 e o desvio padrão de y e de d ficam multiplicados por 50.
Assim, enquanto as medidas de posição de y e de d ficam dadas pela transformação linear da média, mediana e moda de x, as medidas de dispersão dp(y) e dp(d) ficam dadas apenas pelo termo multiplicativo da transformação linear (o coeficiente angular), isto é, 50.dp(x). 

Estatística- medida de dispersão

As medidas de dispersão servem para avaliar o quanto os dados são semelhantes, descreve então o quanto os dados distam do valor central. Desse jeito, as medidas de dispersão servem também para avaliar qual o grau de representação da média.
É fácil demonstrar que apenas a média é insuficiente para descrever um grupo de dados. Dois grupos podem ter a mesma média, mas serem muito diferentes na amplitude de variação de seus dados. Por exemplo:
-Grupo A (dados observados): 5; 5; 5.
-Grupo B (dados observado): 4; 5; 6.
-Grupo C (dados observados): 0; 5; 10.
A média dos três grupos é a mesma (5), mas no grupo “A” não há variação entre os dados, enquanto no grupo “B” a variação é menor que no grupo “C”. Dessa forma, uma maneira mais completa de apresentar os dados (além de aplicar uma medida de tendência central como a média) é aplicar uma medida de dispersão. As principais medidas de dispersão são:
-Amplitude total: é a diferença entre o valor maior e o valor menor de um grupo de dados;
-Soma dos quadrados: é baseada na diferença entre cada valor e a média da distribuição;
-Variância: é a soma dos quadrados dividida pelo número de observações do grupo menos 1;
-Desvio padrão: é expresso na mesma medida das variaçõe (Kg, cm, m³ ...).

Estatística- medidas de tendência central (mediana)

Para indicar a mediana começa-se por escrever os dados por ordem crescente ou decrescente.
         Para o Paulinho
                                   
        A mediana é o valor central.                                         
       Para o Toninho
                                       
        Para o Pedrinho 
                                                       

	Se o número de dados é ímpar, a mediana é o valor que ocupa a posição central.
	Se o número de dados é par, a mediana é a média aritmética dos dois valores centrais.

Estatística- medidas de tendência central (Média e Moda)

Chama-se Média de um conjunto de dados numéricos ao número que se obtém dividindo a soma dos valores de todos os dados pelo número de dados.
      Consideremos a situação:
      O Paulinho, o Toninho e o Pedrinho são três avançados de uma equipa de futebol. Nesta época, o Paulinho e o Pedrinho já fizeram cinco jogos e o Toninho quatro.
      O número de remates à baliza do adversário nos jogos realizados foi o seguinte:

Remates à baliza do adversário por jogo  Paulinho 7 8 3 10 7  Toninho 5 5 0 4 4  Pedrinho 9 8 10 5

      Qual deles fez a melhor média?
      Para calcular a média divide-se o nº total de remates pelo nº de jogos.

Paulinho:

Toninho:

Pedrinho:

        O Pedrinho fez a melhor média.
        A média representa-se por :
                                            
        Assim, para o Pedrinho:
                                                     

       Chama-se Moda de um conjunto de dados ao dado que ocorre com maior frequência.

       Para indicar a moda, observemos, de novo, os dados.                  
       Para o Paulinho a moda é 7, pois é o dado com maior frequência.
       Para o Toninho há duas modas: 4 e 5. Chama-se-lhe bimodal.

     Para o Pedrinho não há moda; nenhum dos dados apresenta maior frequência que os outros. Neste caso dizemos  que é amodal.

      Observemos, de novo, a tabela referente a três avançados de uma equipa de futebol.

Remates à baliza do adversário por jogo  Paulinho 7 8 3 10 7  Toninho 5 5 0 4 4  Pedrinho 9 8 10 5

Estatística- análise e interpretação de gráficos e tabelas

A Estatística reúne os dados coletados em tabelas, divulgando os resultados pesquisacionais na forma de gráficos, que traduzem de forma clara e objetiva os resultados obtidos.

A identificação de gráficos e construção dos mesmos baseados nos tipos de informações que serão passadas é de extrema importância na finalização dessa parte informativa e estrutural da Estatística. Os modelos de gráficos a serem construídos e que se destacam como os mais usuais pelos meios de comunicação são os seguintes: gráfico de barras, setores ou pizza, colunas e linha ou segmentos.

Aqui vai um exercício, para você praticar! 

1) Uma pesquisa da ONU estima que, já em 2008, pela primeira vez na história das civilizações, a maioria das pessoas viverá na zona urbana. O gráfico a seguir mostra o crescimento da população urbana desde 1950, quando essa população era de 700 milhões de pessoas, e apresenta uma previsão para 2030, baseada em crescimento linear no período de 2008 a 2030. De acordo com o gráfico, a população urbana mundial em 2020 corresponderá, aproximadamente, a quantos bilhões de pessoas?

A)4,00

B)4,10

C)4,15

D)4,25

E)4,50

Estatística- Frequência absoluta e relativa

A frequência absoluta está associada ao número de vezes que um valor da variável é citado, e a frequência relativa é determinada em porcentagem, através da relação entre a frequência absoluta da variável e o somatório dos valores citados. Vamos representar situações cotidianas, a fim de demonstrar os processos de construção de tabelas com as frequências informadas.

Exemplo 1

Uma pesquisa foi realizada com os 200 funcionários de uma empresa de comércio atacadista, no intuito de analisarem as preferências por esportes. Dentre as opções esportivas foram fornecidas as seguintes opções: futebol, vôlei, basquete, natação, tênis e ciclismo. Observe os resultados:

Futebol: 70
Vôlei: 50
Basquete: 40
Natação: 20
Tênis: 15
Ciclismo: 5

Exemplo 2

Em uma empresa, os salários dos 60 funcionários foram divididos de acordo com a seguinte informação:

: fechado à esquerda e aberto à direita.

Vamos determinar a frequência relativa dos salários dessa empresa: